Matematyka — Klasa 7
55 tematów wyjaśnionych krok po kroku, z przykładami i typowymi błędami.
Pierwiastki
- Pierwiastek kwadratowy Pierwiastek kwadratowy z liczby to liczba, która podniesiona do kwadratu daje liczbę wyjściową — działanie odwrotne do kwadratu.
- Pierwiastek sześcienny Pierwiastek sześcienny, w odróżnieniu od kwadratowego, istnieje też z liczb ujemnych — ∛a = b, gdy b³ = a, bez ograniczenia na znak.
- Mnożenie pierwiastków Mnożąc dwa pierwiastki kwadratowe, mnożysz liczby pod nimi i wyciągasz jeden wspólny pierwiastek z wyniku: √a · √b = √(a·b).
- Dzielenie pierwiastków Dzieląc dwa pierwiastki kwadratowe, dzielisz liczby pod nimi i wyciągasz jeden wspólny pierwiastek z wyniku: √a : √b = √(a:b).
- Wyłączanie czynnika przed pierwiastek Wyłączanie czynnika przed pierwiastek upraszcza zapis, gdy liczba pod pierwiastkiem zawiera kwadrat jako czynnik: √(a²·b) = a·√b.
- Włączanie czynnika pod pierwiastek Włączanie czynnika pod pierwiastek to operacja odwrotna do wyłączania — czynnik trzeba podnieść do kwadratu: a·√b = √(a²·b).
- Szacowanie pierwiastków Większość liczb nie ma pierwiastka będącego liczbą całkowitą, ale da się oszacować, między którymi liczbami całkowitymi się mieści.
Potęgi
- Potęga o wykładniku naturalnym Potęga o wykładniku naturalnym to skrócony zapis mnożenia liczby przez siebie n razy: aⁿ = a·a·...·a.
- Iloczyn potęg o tej samej podstawie Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajesz wykładniki, a podstawa zostaje bez zmian: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
- Iloraz potęg o tej samej podstawie Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujesz wykładniki, a podstawa zostaje bez zmian: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
- Potęga potęgi Podnosząc potęgę do potęgi, mnożysz wykładniki, nie dodajesz: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ — jedyna taka reguła wśród działań na potęgach.
- Potęgi o tym samym wykładniku Mnożąc potęgi o tym samym wykładniku, mnożysz podstawy, a wykładnik zostaje bez zmian: aⁿ · bⁿ = (a·b)ⁿ.
- Potęga o wykładniku zerowym Dowolna liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje jeden: a⁰ = 1. Skąd się to bierze i dlaczego 0⁰ jest wyjątkiem.
- Potęga o wykładniku ujemnym Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność tej samej potęgi z wykładnikiem dodatnim: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, dla a różnego od zera.
- Notacja wykładnicza Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujemy krócej jako a · 10ⁿ, gdzie 1 ≤ a < 10 — to notacja wykładnicza.
Proporcjonalność i skala
- Proporcja Proporcja to równość dwóch stosunków, a : b = c : d. Rozwiązujesz ją mnożeniem na krzyż: iloczyn skrajnych równa się iloczynowi środkowych.
- Wielkości wprost proporcjonalne Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich stosunek jest zawsze stały — nie wystarczy, że obie po prostu rosną razem.
- Współczynnik proporcjonalności Współczynnik proporcjonalności k to stała liczba, przez którą mnożysz jedną wielkość, żeby otrzymać drugą: y = k · x.
- Podział proporcjonalny Podział proporcjonalny to podzielenie wielkości na części w podanym stosunku — sumujesz liczby stosunku, dzielisz przez sumę, mnożysz.
- Zadania praktyczne z proporcją Zbierz w jednym miejscu wszystko, czego nauczyłeś się o proporcji i skali, i przećwicz to na historii o remoncie mieszkania.
Procenty
- Obliczanie procentu z liczby Jeden sposób, który działa zawsze, i kilka skrótów na liczby, które pojawiają się najczęściej.
- Jakim procentem jednej liczby jest druga To odwrotność procentu z liczby — tu znasz obie wartości i szukasz procentu: dzielisz część przez całość i mnożysz przez 100.
- Obliczanie liczby z jej procentu To trzecie z klasycznych zadań procentowych — znasz część i procent, szukasz całości. Dzielisz część przez procent zapisany dziesiętnie.
- Podwyżki procentowe Podwyżka o 20% to mnożenie przez 1,2 — płacisz 120% ceny wyjściowej. Mechanizm jest lustrzanym odbiciem rabatu.
- Obniżki procentowe Obniżka o 25% to mnożenie przez 0,75 — mechanicznie to samo co rabat, ale dotyczy cen paliwa, temperatury, liczby uczniów.
- Zmiana procentowa To odwrotność podwyżek i obniżek — znasz obie wartości i szukasz procentu zmiany. Dzielisz różnicę przez wartość początkową.
- Lokaty i odsetki Odsetki to procent od kwoty, dopisywany po czasie. Oprocentowanie podaje się w skali roku — to najczęściej zapominana rzecz.
- Zadania tekstowe z procentami To hasło nie uczy nowego działania, tylko rozpoznawania, które z trzech zastosować — słowa w treści zadania podpowiadają wybór.
Wyrażenia algebraiczne
- Jednomiany Jednomian to liczba pomnożona przez jedną lub więcej liter — jedna, spójna całość mnożenia, bez dodawania ani odejmowania w środku.
- Współczynnik liczbowy Współczynnik liczbowy to liczba, przez którą pomnożone są litery w jednomianie. Sama litera bez liczby ma współczynnik 1, nie 0.
- Wyrazy podobne Wyrazy podobne to jednomiany z tą samą częścią literową — te same litery w tych samych potęgach. Współczynnik nie ma znaczenia.
- Redukcja wyrazów podobnych Redukcja wyrazów podobnych to łączenie ich w jeden przez dodanie współczynników, z zachowaniem wspólnej części literowej. Reszta zostaje bez zmian.
- Sumy algebraiczne Suma algebraiczna to kilka jednomianów połączonych plusem i minusem. Znak minus przed jednomianem jest częścią jego zapisu, nie osobnym działaniem.
- Dodawanie sum algebraicznych Przy dodawaniu sum algebraicznych po prostu opuszczasz nawiasy — żaden znak się nie zmienia — a potem redukujesz wyrazy podobne.
- Odejmowanie sum algebraicznych Przy odejmowaniu sumy algebraicznej zmieniasz znak każdego składnika w odejmowanym nawiasie na przeciwny — inaczej niż przy dodawaniu.
- Mnożenie jednomianu przez sumę Żeby pomnożyć jednomian przez sumę, mnożysz go przez każdy składnik z osobna, a potem dodajesz wyniki. Żadnego składnika nie można pominąć.
- Wyłączanie czynnika przed nawias Wyłączanie czynnika przed nawias to operacja odwrotna do mnożenia jednomianu przez sumę. Wynik zawsze możesz sprawdzić, mnożąc z powrotem.
Pola i obwody
- Pole trójkąta prostokątnego Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych, P = (a · b) / 2 — bo obie są zarazem jego wysokościami.
- Obliczanie boków z pola Znając pole prostokąta i jeden bok, drugi liczysz dzieląc; znając pole kwadratu, bok liczysz jako pierwiastek: a = √P.
Równania
- Równania równoważne Równania równoważne mają dokładnie to samo rozwiązanie, nawet jeśli wyglądają zupełnie inaczej. To dlatego działa metoda działania odwrotnego.
- Równania pierwszego stopnia Równanie pierwszego stopnia może mieć niewiadomą po obu stronach. Przenosisz wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, liczby na drugą, zmieniając znak.
- Równania z nawiasami Gdy równanie ma nawias poprzedzony liczbą, najpierw go rozmnażasz — dopiero potem równanie sprowadza się do znanej postaci z przenoszeniem wyrazów.
- Równania z ułamkami Żeby pozbyć się ułamka z niewiadomą, mnożysz obie strony całego równania przez mianownik — wszystkie wyrazy, nie tylko ten z ułamkiem.
- Zadania tekstowe z równaniami Zadanie tekstowe przez równanie to trzy kroki: oznaczenie niewiadomej, zapisanie równania, rozwiązanie — a na końcu sprawdzenie odpowiedzi na pytanie.
Statystyka i dane
- Porównywanie zestawów danych Porównując dwa zestawy danych, patrzysz na średnią i medianę naraz — sama średnia może zniekształcać obraz przez wartości odstające.
- Tworzenie wykresów Tworzenie diagramu słupkowego to proces odwrotny do odczytywania: dobierasz skalę osi, rysujesz słupki i podpisujesz je nazwami kategorii.
Liczby całkowite
- Liczby wymierne dodatnie i ujemne Ułamki zwykłe i dziesiętne też mogą mieć znak. Sprawdź, że te same reguły porównywania i wartości bezwzględnej działają identycznie.
- Działania na liczbach wymiernych Wszystkie cztery działania na liczbach wymiernych łączą technikę liczenia na ułamkach z regułami znaków, które już znasz.
Ułamki dziesiętne
Geometria płaska
- Kąty przy prostych równoległych Gdy sieczna przecina dwie proste równoległe, powstaje osiem kątów w dwóch typach par: odpowiadające i naprzemianległe — obie zawsze równe.
- Cechy przystawania trójkątów Dwa trójkąty są przystające, gdy mają identyczny kształt i rozmiar. Zamiast sprawdzać sześć elementów, wystarczy jedna z trzech cech: bbb, bkb, kbk.
- Trójkąty prostokątne Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty, a pozostałe dwa są ostre i sumują się do 90°. Przeciwprostokątna, naprzeciw kąta prostego, jest najdłuższa.
- Twierdzenie Pitagorasa Twierdzenie Pitagorasa: w trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej, a²+b²=c².
Ułamki zwykłe
- Ułamki w równaniach Równanie z ułamkami rozwiązujesz jak każde inne — wygodnie jest najpierw pomnożyć obie strony przez wspólny mianownik.
- Ułamki w wyrażeniach algebraicznych Ułamek algebraiczny działa jak liczbowy — skracanie wymaga wspólnego czynnika w całym liczniku i mianowniku, nie tylko w części.