Potęga o wykładniku naturalnym
Potęga o wykładniku naturalnym to skrócony zapis mnożenia liczby przez siebie n razy: aⁿ = a·a·...·a.
Klasa 7
Skrócony zapis wielokrotnego mnożenia
Potęga o wykładniku naturalnym to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie, tyle razy, ile wynosi wykładnik.
To nie jest nowe działanie — to wygodniejszy sposób zapisu czegoś, co już znasz. Podobnie jak mnożenie jest wygodniejszym zapisem wielokrotnego dodawania ($3 \cdot 4$ zamiast $4+4+4$), tak potęgowanie jest wygodniejszym zapisem wielokrotnego mnożenia. Bez potęg zapis $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ szybko robi się długi i nieczytelny — potęga $2^5$ mówi dokładnie to samo, krócej.
Typowy błąd
Tak nie wolno
$2^3 = 2 \cdot 3 = 6$ — mnożę podstawę przez wykładnik.
Tak jest dobrze
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ — mnożę podstawę przez samą siebie, tyle razy, ile wynosi wykładnik.
Wykładnik nie mówi, przez co pomnożyć podstawę — mówi, ile razy podstawa ma wystąpić w mnożeniu, i to sama ze sobą, nie z wykładnikiem. $2^3$ to $2 \cdot 2 \cdot 2$, nie $2 \cdot 3$. Te dwa działania dają ten sam wynik tylko w pojedynczych, szczególnych przypadkach — dla większości liczb wyniki są wyraźnie różne, i różnica rośnie bardzo szybko wraz ze wzrostem liczb.
Co zapamiętać
- Potęga o wykładniku naturalnym: $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ — podstawa $a$ pomnożona przez siebie $n$ razy.
- To nie nowe działanie, tylko skrócony zapis wielokrotnego mnożenia — tak jak mnożenie jest skróconym zapisem wielokrotnego dodawania.
- Potęgę można rozwinąć do pełnego mnożenia i odwrotnie — zapisać powtarzające się mnożenie jako potęgę.
- Nie myl $a^n$ z $a \cdot n$ — wykładnik mówi, ile razy podstawa mnoży się przez siebie, nie przez co ją pomnożyć.