Włączanie czynnika pod pierwiastek
Włączanie czynnika pod pierwiastek to operacja odwrotna do wyłączania — czynnik trzeba podnieść do kwadratu: a·√b = √(a²·b).
Klasa 7
Operacja odwrotna do wyłączania czynnika
Włączanie czynnika pod pierwiastek to operacja odwrotna do wyłączania czynnika przed pierwiastek — skąd bierze się ta reguła, wytłumaczone jest właśnie tam. Tutaj chodzi o kierunek przeciwny: zamiast upraszczać zapis, czasem trzeba go rozwinąć, na przykład żeby porównać dwie liczby zapisane w różnej formie.
Kluczowe jest to, co dzieje się z czynnikiem $a$ po drodze: nie wchodzi pod pierwiastek wprost, tylko najpierw trzeba go podnieść do kwadratu. To dlatego wzór ma $a^2$, nie samo $a$ — bez podniesienia do kwadratu wartość liczby by się zmieniła.
Typowy błąd
Tak nie wolno
$2\sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$ — wstawiam czynnik pod pierwiastek bez podniesienia go do kwadratu.
Tak jest dobrze
$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$ — najpierw podnoszę czynnik do kwadratu, dopiero potem wstawiam pod pierwiastek.
Ten błąd bierze się z pomylenia $a \cdot \sqrt{b}$ z $\sqrt{a \cdot b}$ — to dwa różne zapisy, bo w pierwszym $a$ stoi poza pierwiastkiem jako zwykły czynnik, a w drugim wszystko jest pod jednym pierwiastkiem. Żeby przejść z jednego zapisu do drugiego bez zmiany wartości liczby, czynnik $a$ trzeba wprowadzić pod pierwiastek jako $a^2$, nie jako samo $a$.
Co zapamiętać
- Włączanie czynnika pod pierwiastek: $a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ — operacja odwrotna do wyłączania czynnika przed pierwiastek.
- Czynnik przed pierwiastkiem trzeba podnieść do kwadratu, zanim wejdzie pod pierwiastek — nie wstawiaj go tam wprost.
- Ta technika przydaje się do porównywania liczb zapisanych w różnej formie — po sprowadzeniu do jednego, czystego pierwiastka porównujesz liczby pod nim wprost.
- Nie myl $a \cdot \sqrt{b}$ z $\sqrt{a \cdot b}$ — to różne zapisy, dopóki $a$ nie zostanie podniesione do kwadratu.