Potęga o wykładniku ujemnym

Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność tej samej potęgi z wykładnikiem dodatnim: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, dla a różnego od zera.

Klasa 7

Wykładnik ujemny to odwrotność, nie liczba ujemna

Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność tej samej potęgi z wykładnikiem dodatnim.

To wygląda niepokojąco na pierwszy rzut oka — minus przy wykładniku sugeruje, że wynik ma być ujemny. Tak nie jest. Tak samo jak przy wykładniku zerowym, trzeba sięgnąć po regułę ilorazu potęg o tej samej podstawie, żeby zobaczyć, skąd ta reguła się bierze.

Podzielmy $a^2$ przez $a^5$ na dwa sposoby. Po pierwsze, rozpisując obie potęgi jako pełne mnożenie i skracając:

$$a^2 : a^5 = \frac{a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a^3}$$

Po drugie, z reguły ilorazu potęg o tej samej podstawie — tym razem wykładnik w liczniku jest mniejszy niż w mianowniku, więc odejmowanie wychodzi ujemne:

$$a^2 : a^5 = a^{2-5} = a^{-3}$$

Oba sposoby liczą to samo dzielenie, więc muszą dawać ten sam wynik. Skoro $a^2 : a^5 = \frac{1}{a^3}$ i jednocześnie $a^2 : a^5 = a^{-3}$, to:

$$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$$

Dokładnie tak samo wychodzi dla dowolnego wykładnika, nie tylko $3$ — stąd reguła $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ dla każdego $a$ różnego od zera.

Typowy błąd

Minus przy wykładniku nie ma nic wspólnego ze znakiem wyniku — mówi tylko, że potęgę trzeba odwrócić, czyli zapisać jako jeden przez tę samą potęgę z wykładnikiem dodatnim. Dopóki podstawa jest dodatnia, wynik potęgi o wykładniku ujemnym też jest dodatni, tylko mniejszy od jedności.

Co zapamiętać

• Potęga o wykładniku ujemnym: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ dla $a \ne 0$ — to odwrotność, nie liczba ujemna.
• Regułę można wyprowadzić z dzielenia potęg o tej samej podstawie: $a^2 : a^5$ to jednocześnie $\frac{1}{a^3}$ i $a^{-3}$, więc $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$.
• Potęgę z wykładnikiem ujemnym zamieniasz na ułamek, i odwrotnie — ułamek $\frac{1}{a^n}$ na potęgę $a^{-n}$.
• Nie myl wykładnika ujemnego z wynikiem ujemnym — minus przy wykładniku oznacza odwrotność.