Pole trójkąta prostokątnego
Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych, P = (a · b) / 2 — bo obie są zarazem jego wysokościami.
Klasa 7
Przyprostokątne to jednocześnie dwie z trzech wysokości
Pole trójkąta prostokątnego liczy się tak samo jak pole każdego trójkąta — połowa iloczynu podstawy i pasującej do niej wysokości — ale w tym szczególnym przypadku są dwie gotowe wielkości do podstawienia.
Skąd bierze się ten skrót? Trójkąty prostokątne mają szczególną własność: obie przyprostokątne są jednocześnie dwiema z trzech wysokości tego trójkąta, bo są względem siebie prostopadłe. Dlatego jedną przyprostokątną można potraktować jako podstawę, a drugą jako pasującą do niej wysokość, i podstawić wprost do zwykłego wzoru na pole trójkąta — skąd bierze się tam połowa iloczynu, wyjaśniliśmy już przy tamtym haśle, więc tutaj tego nie powtarzamy. Ten wzór, $\frac{a \cdot b}{2}$, to zresztą dokładnie połowa wzoru na pole prostokąta, $P = a \cdot b$ — pełne wyjaśnienie tego związku też znajdziesz przy polu trójkąta.
Dzięki temu, żeby policzyć pole trójkąta prostokątnego, wystarczy znać długości obu przyprostokątnych — nie trzeba osobno szukać wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną, co bywa trudniejsze, bo ta wysokość zwykle nie pokrywa się z żadnym bokiem.
Typowy błąd
Tak nie wolno
Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 9 cm i 4 cm oraz przeciwprostokątną 9,85 cm (w przybliżeniu). Żeby policzyć pole, szukam osobno wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.
Tak jest dobrze
Znam obie przyprostokątne, więc korzystam wprost z nich: $P = \frac{9 \cdot 4}{2} = 18$ cm² — bez szukania dodatkowej wysokości.
Szukanie wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną to zbędna, dodatkowa praca, gdy obie przyprostokątne są już znane — same w sobie są parą podstawa-wysokość, gotową do podstawienia. Warto sięgnąć po tę wysokość dopiero wtedy, gdy w zadaniu podano akurat przeciwprostokątną i tę konkretną wysokość, a nie przyprostokątne.
Co zapamiętać
- Pole trójkąta prostokątnego: $P = \frac{a \cdot b}{2}$, gdzie $a$ i $b$ to długości przyprostokątnych.
- Obie przyprostokątne są jednocześnie dwiema z trzech wysokości trójkąta, więc pasują do siebie jako podstawa i wysokość.
- Znając obie przyprostokątne, nie trzeba osobno szukać wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.
- Ta wysokość przydaje się dopiero wtedy, gdy zadanie podaje przeciwprostokątną zamiast przyprostokątnych.