Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa: w trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej, a²+b²=c².
Klasa 7
Suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej. To twierdzenie Pitagorasa — jedno z najważniejszych twierdzeń w całej geometrii.
Na rysunku trójkąt $ABC$ ma kąt prosty przy wierzchołku $C$. Przyprostokątne to $a$ (bok $BC$) i $b$ (bok $CA$), a przeciwprostokątna to $c$ (bok $AB$) — bok naprzeciwko kąta prostego. W tych oznaczeniach twierdzenie Pitagorasa zapisuje się:
$$a^2 + b^2 = c^2$$
Warto pamiętać, że $a$ i $b$ to nie tylko przyprostokątne, ale też dwie z trzech wysokości tego trójkąta — bo są względem siebie prostopadłe.
Typowy błąd
Tak nie wolno
Przeciwprostokątna to $c = a + b = 5 + 12 = 17$ cm.
Tak jest dobrze
Przeciwprostokątna to $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm.
Twierdzenie Pitagorasa dotyczy kwadratów długości, nie samych długości — nie można po prostu dodać do siebie przyprostokątnej i przeciwprostokątnej ani dwóch przyprostokątnych. Żeby obliczyć brakujący bok, trzeba podnieść znane boki do kwadratu, dodać (dla przeciwprostokątnej) albo odjąć (dla przyprostokątnej), a dopiero na końcu spierwiastkować wynik.
Co zapamiętać
- Twierdzenie Pitagorasa: $a^2 + b^2 = c^2$, gdzie $a$, $b$ to przyprostokątne, a $c$ to przeciwprostokątna.
- Znając obie przyprostokątne, przeciwprostokątną liczysz jako $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
- Znając przeciwprostokątną i jedną przyprostokątną, drugą liczysz jako $b = \sqrt{c^2 - a^2}$ — najpierw przenosisz wyraz na drugą stronę, dopiero potem pierwiastkujesz.
- Nie wolno dodawać ani odejmować samych długości boków — działania robimy na ich kwadratach.