Szacowanie pierwiastków
Większość liczb nie ma pierwiastka będącego liczbą całkowitą, ale da się oszacować, między którymi liczbami całkowitymi się mieści.
Klasa 7
Między którymi liczbami całkowitymi mieści się pierwiastek
Większość liczb nie ma pierwiastka kwadratowego będącego liczbą całkowitą. Można jednak oszacować, między którymi dwiema liczbami całkowitymi taki pierwiastek się mieści, nawet bez liczenia go dokładnie.
Metoda jest zawsze taka sama: znajdź największy kwadrat liczby całkowitej mniejszy od liczby pod pierwiastkiem i najmniejszy kwadrat większy od niej. Liczba pod pierwiastkiem leży między tymi dwoma kwadratami, więc sam pierwiastek leży między pierwiastkami tych kwadratów — czyli między odpowiednimi liczbami całkowitymi.
Typowy błąd
Tak nie wolno
$\sqrt{50}$ mieści się między $6$ a $7$, bo $6^2 = 36$ i $7^2 = 49$ — nie sprawdzam, czy $50$ rzeczywiście mieści się między tymi kwadratami.
Tak jest dobrze
$\sqrt{50}$ mieści się między $7$ a $8$, bo $7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$ — sprawdzam, że $50$ rzeczywiście leży między wybranymi kwadratami.
Ten błąd bierze się z wzięcia pierwszego z brzegu kwadratu zamiast sprawdzenia, czy liczba pod pierwiastkiem naprawdę mieści się między nim a kolejnym. $49$ jest mniejsze od $50$, więc $6^2 = 36$ już nie jest najbliższym mniejszym kwadratem — trzeba sprawdzić kolejny, $7^2 = 49$, żeby znaleźć właściwą parę.
Co zapamiętać
- Metoda: znajdź największy kwadrat liczby całkowitej mniejszy od liczby pod pierwiastkiem i najmniejszy kwadrat większy od niej.
- Pierwiastek szukanej liczby leży między pierwiastkami tych dwóch kwadratów, czyli między odpowiednimi liczbami całkowitymi.
- Zawsze sprawdź, czy liczba pod pierwiastkiem rzeczywiście leży między wybranymi kwadratami, zanim podasz oszacowanie.
- Większość liczb nie ma pierwiastka będącego liczbą całkowitą — to normalne, do tego właśnie służy szacowanie.