Cechy przystawania trójkątów
Dwa trójkąty są przystające, gdy mają identyczny kształt i rozmiar. Zamiast sprawdzać sześć elementów, wystarczy jedna z trzech cech: bbb, bkb, kbk.
Klasa 7
Kiedy dwa trójkąty są przystające
Dwa trójkąty są przystające, jeśli mają identyczny kształt i rozmiar — jeden można nałożyć na drugi tak, żeby pokryły się dokładnie, bok na boku i kąt na kącie. Dotyczy to każdego trójkąta, niezależnie od jego rodzaju.
Trójkąt ma sześć elementów: trzy boki i trzy kąty. Sprawdzanie wszystkich sześciu naraz byłoby żmudne — na szczęście nie trzeba. Wystarczy sprawdzić określoną trójkę elementów, żeby mieć pewność, że reszta też się zgadza. Te trójki nazywamy cechami przystawania trójkątów.
Trzy cechy przystawania
- Bok-bok-bok (bbb) — trzy pary odpowiednich boków są równej długości.
- Bok-kąt-bok (bkb) — dwa boki są równej długości, a kąt między nimi ma tę samą miarę.
- Kąt-bok-kąt (kbk) — dwa kąty mają tę samą miarę, a bok między nimi jest równej długości.
W cechach bkb i kbk kolejność ma znaczenie. W bkb kąt musi leżeć dokładnie między dwoma wskazanymi bokami — czyli być kątem, który te dwa boki tworzą. W kbk bok musi leżeć dokładnie między dwoma wskazanymi kątami — czyli łączyć wierzchołki, w których te kąty się znajdują. Sama zgodność dwóch boków i jakiegokolwiek kąta, który akurat nie leży między nimi, nie wystarcza.
Typowy błąd
Tak nie wolno
Trójkąt ma dwa boki równe 5 cm i 7 cm oraz kąt $40°$ przy trzecim wierzchołku, niesąsiadującym z żadnym z tych boków. Drugi trójkąt ma te same dwa boki i ten sam kąt $40°$ w tym samym miejscu — więc trójkąty są przystające na mocy bkb.
Tak jest dobrze
Kąt $40°$ nie leży między bokami 5 cm i 7 cm, więc to nie jest cecha bkb. Zgodność dwóch boków i kąta spoza nich nie gwarantuje przystawania — trzeba sprawdzić inną cechę albo inne elementy.
Cecha bok-kąt-bok wymaga, żeby sprawdzany kąt leżał dokładnie między dwoma sprawdzanymi bokami — czyli był kątem, który te boki tworzą przy wspólnym wierzchołku. Kąt leżący przy trzecim wierzchołku, naprzeciwko jednego z boków, to zupełnie inna sytuacja, i sama zgodność takiej trójki elementów nie wystarcza, żeby uznać trójkąty za przystające.
Co zapamiętać
- Trójkąty przystające mają identyczny kształt i rozmiar — jeden nakłada się na drugi bez reszty.
- Zamiast sprawdzać wszystkie sześć elementów, wystarczy sprawdzić jedną z trzech cech: bbb, bkb albo kbk.
- W bkb kąt musi leżeć między wskazanymi bokami; w kbk bok musi leżeć między wskazanymi kątami — kolejność w nazwie cechy nie jest przypadkowa.
- Znajomość dwóch kątów trójkąta od razu wyznacza trzeci, bo suma kątów w trójkącie zawsze wynosi $180°$ — cecha kbk mówi więc więcej, niż mogłoby się wydawać.