Iloczyn potęg o tej samej podstawie

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajesz wykładniki, a podstawa zostaje bez zmian: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

Klasa 7

Wykładniki się dodaje, podstawa zostaje bez zmian

Mnożąc dwie potęgi o tej samej podstawie, wykładniki się dodaje, a sama podstawa zostaje bez zmian.

Skąd bierze się ta reguła? Wystarczy rozpisać obie potęgi jako pełne mnożenie. Weźmy na przykład $a^3 \cdot a^2$: pierwsza potęga to $a$ pomnożone przez siebie trzy razy, druga — dwa razy:

$$a^3 \cdot a^2 = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a)$$

Po połączeniu wszystkiego w jedno mnożenie, $a$ występuje w nim łącznie pięć razy — trzy z pierwszej potęgi i dwa z drugiej:

$$a^3 \cdot a^2 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^5$$

Dokładnie tak samo działa to dla dowolnych wykładników $m$ i $n$: podstawa $a$ wystąpi w połączonym mnożeniu $m + n$ razy, bo tyle razy występowała łącznie w obu wyjściowych potęgach. Stąd $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Typowy błąd

Inny wariant tego samego błędu to mnożenie podstaw razem z dodawaniem wykładników naraz, na przykład zapisanie wyniku jako $9^6$ — podstawa we wzorze zostaje dokładnie taka, jaka była, $a$, nie $a \cdot a$. Zmienia się tylko wykładnik, i to przez dodawanie, nie mnożenie.

Co zapamiętać

• Iloczyn potęg o tej samej podstawie: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — wykładniki się dodaje, podstawa zostaje bez zmian.
• Reguła wynika z rozpisania obu potęg jako pełnego mnożenia — podstawa występuje w połączonym iloczynie tyle razy, ile wynosi suma wykładników.
• Nie mnóż wykładników — dodaj je.
• Nie zmieniaj podstawy — zostaje dokładnie taka sama jak w obu wyjściowych potęgach.