Kąty przy prostych równoległych

Gdy sieczna przecina dwie proste równoległe, powstaje osiem kątów w dwóch typach par: odpowiadające i naprzemianległe — obie zawsze równe.

Klasa 7

Osiem kątów przy przecięciu dwóch prostych równoległych

Gdy dwie proste równoległe, $k$ i $l$, przecina trzecia prosta $m$, zwana sieczną, powstają dwa punkty przecięcia, a w każdym z nich cztery kąty — osiem kątów w sumie. W każdym z tych dwóch punktów kąty zachowują się dokładnie tak, jak przy każdym przecięciu dwóch prostych: tworzą dwie pary kątów wierzchołkowych (równych sobie) i sąsiadujące pary kątów przyległych (sumujących się do $180°$). To nic nowego — to, co już znasz.

Żeby mówić o konkretnych kątach bez rysunku, oznaczmy je według położenia. Przy każdym z dwóch punktów przecięcia (nazwijmy je $A$, na prostej $k$, i $B$, na prostej $l$) powstają cztery kąty: górny-lewy, górny-prawy, dolny-lewy i dolny-prawy, położone względem siecznej i względem tego, po której stronie leży druga prosta równoległa.

Kąty odpowiadające i kąty naprzemianległe

Kąty odpowiadające leżą po tej samej stronie siecznej i na tej samej pozycji względem swojego punktu przecięcia — na przykład oba górne-lewe, jeden przy $A$, drugi przy $B$. To, że proste $k$ i $l$ są równoległe, oznacza właśnie, że każda taka para kątów odpowiadających jest sobie równa. To jedyna naprawdę nowa reguła w tym temacie — reszta z niej wynika.

Kąty naprzemianległe leżą po przeciwnych stronach siecznej, między obiema prostymi równoległymi — na przykład dolny-lewy przy $A$ i górny-prawy przy $B$. I tu wraca to, co już wiadomo: dolny-lewy kąt przy $A$ jest kątem wierzchołkowym do górnego-prawego kąta przy $A$, więc są sobie równe. A górny-prawy kąt przy $A$ jest kątem odpowiadającym do górnego-prawego kąta przy $B$, więc te dwa też są sobie równe. Łącząc oba fakty: dolny-lewy przy $A$ = górny-prawy przy $A$ = górny-prawy przy $B$ — czyli para naprzemianległa też jest równa. Żadnej nowej reguły do zapamiętania, tylko wierzchołkowe i odpowiadające zastosowane razem.

Typowy błąd

Przy siecznej przecinającej dwie proste równoległe powstają dwie grupy kątów o różnych miarach, dopełniających się do $180°$, a nie jedna wspólna miara dla wszystkich ośmiu. Kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe każde w swojej parze, ale nie są sobie równe nawzajem, jeśli akurat nie mierzą $90°$. Warto też nie mylić samych nazw: odpowiadające leżą po tej samej stronie siecznej, naprzemianległe po przeciwnych.

Co zapamiętać

• Sieczna przecinająca dwie proste równoległe tworzy osiem kątów, ale tylko dwie różne miary wśród nich, dopełniające się do $180°$.
• Kąty odpowiadające: ta sama strona siecznej, ta sama pozycja względem punktu przecięcia — równe.
• Kąty naprzemianległe: przeciwne strony siecznej, między prostymi równoległymi — też równe.
• Obie własności wynikają z kątów wierzchołkowych i przyległych zastosowanych do dwóch punktów przecięcia naraz, nie są osobnym zestawem reguł.