Ułamki w równaniach
Równanie z ułamkami rozwiązujesz jak każde inne — wygodnie jest najpierw pomnożyć obie strony przez wspólny mianownik.
Klasa 7
Pozbywanie się mianowników
Równanie z ułamkami rozwiązujesz dokładnie tak samo jak każde inne — przenosisz wyrazy, redukujesz, dzielisz przez współczynnik przy niewiadomej. Jedyna różnica: zanim zaczniesz przekształcać, warto pozbyć się mianowników. Ułamki nie utrudniają rozwiązania, tylko zwiększają ryzyko pomyłki rachunkowej.
Żeby pozbyć się mianowników, mnożysz obie strony równania przez ich wspólny mianownik. To samo mnożenie działa na obie strony, więc równość zostaje zachowana.
$$\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = 1 \quad \Big/ \cdot 6$$
$$3x + 2 = 6$$
Gdy niewiadoma jest pomnożona przez ułamek
Czasem niewiadoma stoi obok ułamka jako współczynnik, na przykład $\frac{2}{3}x = 8$. Żeby ją wyizolować, dzielisz obie strony przez ten ułamek — czyli mnożysz przez jego odwrotność.
$$\frac{2}{3}x = 8 \quad \Big/ \cdot \frac{3}{2}$$
$$x = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12$$
Typowy błąd
Tak nie wolno
$$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7 \quad \to \quad 4x + \frac{x}{4} = 84$$
Pomnożono tylko pierwszy składnik — drugi został z ułamkiem i równanie przestało się zgadzać.
Tak jest dobrze
$$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7 \quad \to \quad 4x + 3x = 84 \quad \to \quad x = 12$$
Pomnożono każdy składnik po obu stronach — wynik wychodzi poprawnie.
Mnożenie musi objąć każdy składnik po obu stronach równania, nie tylko ten, który akurat ma ułamek. Pominięcie jednego składnika psuje całą równość.
Co zapamiętać
- Równanie z ułamkami rozwiązujesz tak samo jak każde inne — przekształcasz i izolujesz niewiadomą.
- Warto najpierw pomnożyć obie strony przez wspólny mianownik, żeby pozbyć się ułamków.
- Mnożenie musi objąć każdy składnik po obu stronach, nie tylko wybrane.
- Gdy niewiadoma jest pomnożona przez ułamek, dzielisz przez niego — czyli mnożysz przez jego odwrotność.