Symetria środkowa
Symetria środkowa to przekształcenie względem punktu — zmienia znak obu współrzędnych naraz, (x, y) → (-x, -y).
Klasa 8
Przekształcenie względem punktu, nie względem prostej
Symetria środkowa to przekształcenie względem punktu, zwanego środkiem symetrii — inaczej niż symetria osiowa, która jest przekształceniem względem prostej. Punkt i jego obraz w symetrii środkowej leżą po przeciwnych stronach środka symetrii, w tej samej odległości od niego, a sam środek symetrii leży dokładnie w połowie odcinka łączącego punkt z obrazem.
Symetria środkowa w układzie współrzędnych
Gdy środkiem symetrii jest początek układu współrzędnych, symetria środkowa zmienia znak obu współrzędnych naraz:
$$(x, y) \to (-x, -y)$$
To jest właśnie różnica, którą warto zapamiętać najlepiej: przy symetrii osiowej względem osi $X$ albo osi $Y$ zmienia się znak tylko jednej współrzędnej, druga zostaje bez zmian. Przy symetrii środkowej względem początku układu zmieniają się znaki obu współrzędnych naraz. To dokładnie ta sytuacja, przed którą ostrzegaliśmy przy symetrii osiowej — zmiana znaku obu współrzędnych naraz to nie błąd przy odbiciu względem osi, tylko osobne przekształcenie: symetria środkowa.
Typowy błąd
Tak nie wolno
Symetria środkowa i symetria osiowa względem osi $X$ to to samo przekształcenie.
Tak jest dobrze
Symetria środkowa zmienia znak obu współrzędnych naraz: $(x, y) \to (-x, -y)$. Symetria osiowa względem osi $X$ zmienia znak tylko współrzędnej $Y$: $(x, y) \to (x, -y)$. To dwa różne przekształcenia.
Obraz tego samego punktu w tych dwóch przekształceniach zwykle wypada w zupełnie innym miejscu. Symetria środkowa jest przekształceniem względem punktu i zmienia znak obu współrzędnych. Symetria osiowa jest przekształceniem względem prostej i zmienia znak tylko jednej współrzędnej — tej, która mierzy odległość od tej konkretnej osi.
Co zapamiętać
- Symetria środkowa to przekształcenie względem punktu (środka symetrii), nie względem prostej.
- Punkt i jego obraz leżą po przeciwnych stronach środka symetrii, w tej samej odległości od niego, a środek symetrii leży w połowie odcinka między nimi.
- Względem początku układu współrzędnych: $(x, y) \to (-x, -y)$ — znak obu współrzędnych zmienia się naraz.
- Symetria osiowa zmienia znak tylko jednej współrzędnej, symetria środkowa zmienia znak obu — to dwa różne przekształcenia.