Kąty wierzchołkowe
Kąty wierzchołkowe powstają, gdy dwie proste się przecinają — mają wspólny wierzchołek i są zawsze równe, niezależnie od kąta przecięcia.
Klasa 5
Definicja i dlaczego kąty wierzchołkowe są równe
Kąty wierzchołkowe powstają, gdy dwie proste przecinają się w jednym punkcie. Mają wspólny wierzchołek, a ramiona jednego kąta są przedłużeniami ramion drugiego w przeciwne strony.
Na rysunku proste $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Kąt $\alpha$ między ramionami $OA$ i $OB$ oraz kąt po przeciwnej stronie, między ramionami $OC$ i $OD$, to para kątów wierzchołkowych — dlatego oba oznaczono tą samą literą $\alpha$.
Dlaczego są równe? Skorzystaj z tego, co już wiadomo o kątach przyległych: oba kąty wierzchołkowe sąsiadują z tym samym trzecim kątem, $\gamma$, między ramionami $OB$ i $OC$ — i każdy z nich jest do niego przyległy.
Pierwszy kąt wierzchołkowy, $\alpha$, jest przyległy do $\gamma$ — wspólne ramię $OB$, a drugie ramiona, $OA$ i $OC$, leżą na jednej prostej:
$$\alpha + \gamma = 180°$$
Drugi kąt wierzchołkowy, oznaczmy go $\beta$, też jest przyległy do $\gamma$ — wspólne ramię $OC$, a drugie ramiona, $OD$ i $OB$, leżą na jednej prostej:
$$\beta + \gamma = 180°$$
Oba równania mają tę samą prawą stronę, więc lewe strony też muszą być sobie równe:
$$\alpha = 180° - \gamma = \beta$$
Kąty wierzchołkowe są zawsze równe — to dlatego na rysunku oznaczono je tą samą literą. W przeciwieństwie do kątów przyległych nie sumują się do żadnej konkretnej wartości. Po prostu są sobie równe, niezależnie od tego, jakiego są rodzaju — ostre, proste czy rozwarte, reguła działa zawsze tak samo.
Typowy błąd
Tak nie wolno
Kąt ma miarę $72°$, więc kąt wierzchołkowy do niego ma $180° - 72° = 108°$.
Tak jest dobrze
Kąt ma miarę $72°$, więc kąt wierzchołkowy do niego też ma $72°$ — kąty wierzchołkowe są równe.
To pomylenie kątów przyległych z wierzchołkowymi. Odejmowanie od $180°$ działa tylko dla kątów przyległych, które leżą obok siebie na jednej prostej. Kąty wierzchołkowe leżą po przeciwnych stronach punktu przecięcia i są zawsze równe — nic od niczego nie trzeba odejmować.
Co zapamiętać
- Kąty wierzchołkowe powstają, gdy dwie proste przecinają się w jednym punkcie — mają wspólny wierzchołek, a ramiona jednego są przedłużeniem ramion drugiego w przeciwne strony.
- Kąty wierzchołkowe są zawsze równe.
- Są równe, bo oba są przyległe do tego samego trzeciego kąta i oba dopełniają go do $180°$.
- Nie myl z kątami przyległymi, które sumują się do $180°$, a nie są sobie równe.