Trójkąt 30-60-90

W trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° boki mają stały stosunek: przyprostokątne to c/2 i c√3/2, bez liczenia z Pitagorasa.

Klasa 8

Stałe proporcje boków w trójkącie 30-60-90

W trójkącie prostokątnym o kątach $30°$, $60°$ i $90°$ boki mają stały wzajemny stosunek, niezależny od wielkości trójkąta — znając tylko przeciwprostokątną, można obliczyć obie przyprostokątne bez używania twierdzenia Pitagorasa.

Rysunek pokazuje ogólne oznaczenia trójkąta prostokątnego: kąt prosty przy wierzchołku $C$, przyprostokątne $a$ (naprzeciwko $A$) i $b$ (naprzeciwko $B$), przeciwprostokątna $c$. Same kąty na tym konkretnym rysunku nie są akurat $30°$ i $60°$ — ale te same oznaczenia liter posłużą do zapisania proporcji dla przypadku, gdy akurat są.

Załóżmy, że kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $30°$, a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $60°$. Wtedy:

• Przyprostokątna $a$, leżąca naprzeciwko kąta $30°$, jest zawsze równa połowie przeciwprostokątnej: $a = \frac{c}{2}$.
• Przyprostokątna $b$, leżąca naprzeciwko kąta $60°$, jest zawsze równa połowie przeciwprostokątnej pomnożonej przez pierwiastek z $3$: $b = \frac{c\sqrt{3}}{2}$.

Typowy błąd

Łatwo pomylić, który wzór pasuje do którego kąta — bo oba dotyczą tej samej przeciwprostokątnej, tylko z innym mnożnikiem. Zapamiętaj kierunek: mniejszy kąt ($30°$) ma naprzeciwko krótszy bok, samą połowę przeciwprostokątnej, a większy kąt ($60°$) ma naprzeciwko dłuższy bok, czyli połowę razy pierwiastek z $3$ — więcej niż połowę. To ten sam mechanizm, co w każdym trójkącie: większemu kątowi odpowiada dłuższy bok naprzeciwko niego.

Co zapamiętać

• W trójkącie o kątach $30°$, $60°$, $90°$ boki mają stały stosunek, niezależny od wielkości trójkąta.
• Przyprostokątna naprzeciwko kąta $30°$ to połowa przeciwprostokątnej: $a = \frac{c}{2}$.
• Przyprostokątna naprzeciwko kąta $60°$ to połowa przeciwprostokątnej razy pierwiastek z $3$: $b = \frac{c\sqrt{3}}{2}$.
• Obie przyprostokątne można obliczyć od razu ze stałych proporcji, bez sięgania po twierdzenie Pitagorasa.