Trójkąt prostokątny równoramienny

Trójkąt prostokątny równoramienny ma kąt prosty, dwie równe przyprostokątne i kąty 45°, 45°, 90°. Przeciwprostokątna to a√2.

Klasa 8

Kąt prosty i dwie równe przyprostokątne

Trójkąt prostokątny równoramienny to trójkąt, który jest jednocześnie prostokątny i równoramienny — ma kąt prosty i dwie równe przyprostokątne.

Rysunek pokazuje ogólne oznaczenia: kąt prosty przy wierzchołku $C$, przyprostokątne $a$ (naprzeciwko $A$) i $b$ (naprzeciwko $B$), przeciwprostokątna $c$. Same kąty na tym konkretnym rysunku nie są akurat po $45°$ — ale te same oznaczenia posłużą do zapisania własności tego trójkąta.

W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątne są równe: $a = b$. Skoro trójkąt jest równoramienny, kąty przy podstawie (czyli przy wierzchołkach $A$ i $B$, naprzeciwko równych przyprostokątnych) też są równe. Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi $180°$, a kąt przy $C$ to $90°$, oba pozostałe kąty razem dają $90°$ — a skoro są równe, każdy z nich ma dokładnie $45°$.

Przeciwprostokątna to przyprostokątna razy pierwiastek z dwóch

Skoro obie przyprostokątne są równe ($a = b$), można podstawić to do twierdzenia Pitagorasa i wyprowadzić wzór na przeciwprostokątną, zamiast zapamiętywać go jako gotowy fakt.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Podstawiamy $b = a$:

$$a^2 + a^2 = c^2$$

$$2a^2 = c^2$$

$$c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

Przeciwprostokątna jest więc zawsze równa przyprostokątnej pomnożonej przez pierwiastek z dwóch.

Typowy błąd

To pomylenie dwóch różnych szczególnych trójkątów prostokątnych. W trójkącie 30-60-90 przyprostokątne są różnej długości, a proporcje wynikają z podziału na pół i pomnożenia przez pierwiastek z trzech. W trójkącie prostokątnym równoramiennym obie przyprostokątne są równe, a przeciwprostokątna to przyprostokątna razy pierwiastek z dwóch. Zanim zastosujesz którykolwiek zestaw proporcji, sprawdź, jakie kąty ma dany trójkąt.

Co zapamiętać

• Trójkąt prostokątny równoramienny ma kąt prosty i dwie równe przyprostokątne.
• Oba kąty ostre mają po $45°$, co wynika z sumy kątów w trójkącie.
• Przeciwprostokątna to przyprostokątna razy pierwiastek z dwóch: $c = a\sqrt{2}$ — wynika to wprost z twierdzenia Pitagorasa.
• Nie myl z trójkątem 30-60-90 — to inny trójkąt, z innymi proporcjami boków.