Graniastosłupy prawidłowe
Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny. Sprawdź, jaki dodatkowy warunek musi spełniać i jak go rozpoznać.
Klasa 8
Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty (patrz hasło Graniastosłupy), którego podstawą jest dodatkowo wielokąt foremny — czyli wielokąt, którego wszystkie boki mają jednakową długość, a wszystkie kąty wewnętrzne mają jednakową miarę. To dodatkowy warunek, który spełnia tylko część graniastosłupów prostych.
Przykład: graniastosłup sześciokątny prawidłowy
Dobrym przykładem jest graniastosłup sześciokątny prawidłowy — jego podstawą jest sześciokąt foremny, czyli sześciokąt o sześciu równych bokach i sześciu równych kątach.
Tak jak w każdym graniastosłupie, jeśli podstawa ma $n$ boków, bryła ma $n+2$ ścian, $3n$ krawędzi i $2n$ wierzchołków. Dla $n=6$ otrzymujemy odpowiednio $8$, $18$ i $12$.
Siatka
Skoro wszystkie boki podstawy sześciokąta foremnego mają tę samą długość, wszystkie sześć ścian bocznych jest przystającymi prostokątami — inaczej niż w graniastosłupie trójkątnym z poprzedniego hasła, gdzie boki podstawy miały różne długości, a ściany boczne miały różne długości boków odpowiadających bokom podstawy. Na powyższym rysunku wysokość graniastosłupa jest akurat równa długości boku podstawy, więc te prostokąty wychodzą jako kwadraty — to jednak cecha tego konkretnego przykładu, nie każdego graniastosłupa prawidłowego.
Dlaczego „prawidłowy" to więcej niż tylko „prosty"
Każdy graniastosłup prawidłowy jest prosty — krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Ale nie każdy graniastosłup prosty jest prawidłowy: prawidłowość wymaga dodatkowo, żeby podstawa była wielokątem foremnym. Graniastosłup prosty o podstawie będącej prostokątem, który nie jest kwadratem, nie jest prawidłowy.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny nie musi być sześcianem. Jego podstawy są kwadratami, ale wysokość może mieć inną długość niż bok podstawy. Sześcian otrzymujemy dopiero wtedy, gdy wysokość jest równa długości boku kwadratu.
Typowy błąd
Tak nie wolno
Graniastosłup prosty o podstawie prostokąta to graniastosłup prawidłowy, bo jego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.
Tak jest dobrze
To za mało. Prawidłowość wymaga też, żeby podstawa była wielokątem foremnym. W prostokącie, który nie jest kwadratem, boki nie są równe, więc taki graniastosłup jest prosty, ale nie prawidłowy.
Co zapamiętać
- Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny (wszystkie boki i kąty równe).
- Każdy graniastosłup prawidłowy jest prosty, ale nie każdy prosty jest prawidłowy.
- Dla podstawy o $n$ bokach: liczba ścian to $n+2$, liczba krawędzi to $3n$, liczba wierzchołków to $2n$ — te same wzory, co dla dowolnego graniastosłupa.
- W graniastosłupie prawidłowym wszystkie ściany boczne są przystającymi prostokątami, bo wszystkie boki podstawy mają tę samą długość.
- Graniastosłup prosty o podstawie, która nie jest wielokątem foremnym (np. prostokącie, który nie jest kwadratem), nie jest prawidłowy.