Notacja wykładnicza w zadaniach
Mnożąc lub dzieląc liczby w notacji wykładniczej, liczby przed potęgą liczysz osobno, a wykładniki dziesięciu — osobno.
Klasa 8
Mnożenie i dzielenie liczb zapisanych w notacji wykładniczej
Czym jest notacja wykładnicza i jak zapisać w niej liczbę, już wiesz. Tutaj chodzi o coś innego: jak mnożyć i dzielić liczby, które są już w tej notacji zapisane.
Mnożąc albo dzieląc dwie liczby zapisane w notacji wykładniczej, liczysz osobno dwie rzeczy: liczby z przedziału od 1 do 10 mnożysz albo dzielisz między sobą, a wykładniki potęg dziesięciu — osobno dodajesz albo odejmujesz. To bezpośrednie zastosowanie reguł iloczynu i ilorazu potęg o tej samej podstawie, tylko podstawą jest teraz zawsze $10$.
$$(a \cdot 10^m) \cdot (b \cdot 10^n) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n} \qquad (a \cdot 10^m) : (b \cdot 10^n) = (a : b) \cdot 10^{m-n}$$
Jest jednak haczyk: liczby $a$ i $b$ są same z przedziału od 1 do 10, ale ich iloczyn $a \cdot b$ już niekoniecznie w tym przedziale zostaje — może wyjść 10 lub więcej. Wtedy zapis trzeba skorygować dokładnie tak, jak przy typowym błędzie w podstawowym haśle o notacji wykładniczej: przesunąć przecinek o jedno miejsce i zwiększyć wykładnik o jeden.
Typowy błąd
Tak nie wolno
$(4 \cdot 10^6) \cdot (5 \cdot 10^3) = (4+5) \cdot 10^{6+3} = 9 \cdot 10^9$ — dodaję liczby $a$ zamiast je pomnożyć.
Tak jest dobrze
$(4 \cdot 10^6) \cdot (5 \cdot 10^3) = (4 \cdot 5) \cdot 10^{6+3} = 20 \cdot 10^9 = 2 \cdot 10^{10}$ — liczby mnożę, wykładniki dodaję — dwa osobne działania.
Ten błąd bierze się z przeniesienia „dodawania" z wykładników na całe działanie. Ale to dwie osobne operacje na dwóch osobnych częściach zapisu: część przed potęgą ($a$ i $b$) mnoży się albo dzieli tak, jak każe działanie w zadaniu, a wykładniki dziesięciu dodaje się albo odejmuje zawsze według reguł iloczynu i ilorazu potęg, niezależnie od tego, co dzieje się z $a$ i $b$.
Co zapamiętać
- Mnożąc liczby w notacji wykładniczej: liczby $a$ i $b$ mnożysz, wykładniki dziesięciu dodajesz.
- Dzieląc liczby w notacji wykładniczej: liczby $a$ i $b$ dzielisz, wykładniki dziesięciu odejmujesz.
- Wynik działania na liczbach $a$ i $b$ może wyjść poza zakres $1 \le a < 10$ — wtedy skoryguj zapis, przesuwając przecinek i dostosowując wykładnik.
- Nie dodawaj ani nie mnóż liczb $a$ i $b$ razem z wykładnikami — to dwa osobne działania.